表格法是计算复杂不定积分的方式之一,本质上是从分步积分法中归纳总结而来的。一般适用于计算幂函数与三角函数,幂函数与指数函数的组合积分。

具体过程是在一张表格中将幂函数进行多次求导,三角函数或指数函数进行多次积分,最后依次用加减相连。以$\int x^3\sin x dx$为例:

首先列表格如下:

$x^3$ $3x^2$ $6x$ $6$ $0$
$\sin x$ $-\cos x$ $-\sin x$ $\cos x$ $\sin x$
$符号$ $+$ $-$ $+$ $-$

第一行为幂函数多次求导,第二行为三角函数或指数函数多次积分,第三行依次为加减不断重复,直至第一行为0。然后将第一二行以左上-右下的方式相乘,最后把结果用加减符号连接起来。

$$
\begin{aligned}
\int x^3\sin x dx
&= +(x^3)(-\cos x)-(3x^2)(-\sin x)+(6x\cos x)-(6\sin x) \\
&= -x^3\cos x+3x^2\sin x + 6x\cos x - 6\sin x + c
\end{aligned}
$$