一

$${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{t=a+b-x}{=}{\int }_a^{b}f(t)dt$$

二

$${\int }_0^{a}f(x)dx\stackrel{xb=ta}{=}{\int }_0^{b}f(\frac{a}{b}t)\cdot \frac{a}{b}dt$$

三 (周期函数)

$${\int }_a^{a+T}f(x)dx\stackrel{x=t+a}{=}{\int }_0^{T}f(t+a)dt$$

四

$${\int }_a^{b}f(x)dx\stackrel{\ast }{=}{\int }_c^{d}f(\frac{t-c}{d-c}(b-a)+a)\cdot \frac{b-a}{d-c}dt$$
$$\mathrm{其}\mathrm{中}t=\frac{x-a}{b-a}(d-c)+cx=\frac{t-c}{d-c}(b-a)+a$$